Question

（本小题满分15分）已知函数
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若曲线过原点的切线与函数的图像有两个交点，试求b的取值范围.

Answer 1

(Ⅰ) ；（Ⅱ） 。

本题主要考查了利用导数判断函数的单调性及求解函数的极值，导数的几何意义的应用，解决本题的关键是灵活应用方程的实根分布进行求解.
（I）先对函数求导f′（x）=3x²-3a，分a＞0，f′（x）≥0，a＞0则x=± ，讨论函数的单调性，进而求解函数的极值，从而可求a
（II）由题意可求切线方程y=-9x，由 y=-9x与y=2bx²-7x-3-b，
在[-1，1]上的图象有交点，说明函数得函数h（x）=2bx²+2x-3-b在区间[-1，1]上有零点，利用方程的实根分别问题进行求解即可
解： (Ⅰ) ，又函数有极大值
，得
在上递增，在上递减
，得  …………………………7分
（Ⅱ）设切点，则切线斜率
所以切线方程为
将原点坐标代入得，所以
切线方程为
由得
设
则令，得
所以在上递增，在上递减
所以
若有两个解，则
得     …………………………15分