Question

如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，CD=6，AD=3，E为CD上一点，且DE=4，过E作EF∥AD交BC于F现将△CEF沿EF折起到△PEF，使∠PED=60°，如图2．
（Ⅰ）求证：PE⊥平面ADP；
（Ⅱ）求异面直线BD与PF所成角的余弦值；
（Ⅲ）在线段PF上是否存在一点M，使DM与平在ADP所成的角为30°？若存在，确定点M的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题设条件及图形知，本题可采用两种方法求解，
法一，证明AD⊥PE，PE⊥PD，再利用线面垂直的判定定理证明即可；
法二，用向量法，建立如图的坐标系，根据题设条件写出各点的坐标，易得直线PE的方向向量与面内两直线AD，PD的方向向量，用数量积证明即可；
（Ⅱ）本题用向量法比较方便，借助（I）中的坐标系，易得两异面直线的方向向量，用数量积求两异面直线的夹角的余弦值或其补角的余弦值；
（Ⅲ）先假定存在，设出点M的坐标，由线面垂直的条件寻求满足题意的条件，根据DM与平在ADP所成的角为30°，建立方程求参数，为了解答本题，需要求出平面的法向量与直线DM的方向向量．然后利用相关规则求夹角的余弦，令其值等于sin30°，建立方程求参数，若能求出符合条件的参数，则说明存在，否则，说明不存在．

解答：解：（Ⅰ）解法一：∵DE=4，PE=2，∠PED=60°，由弦定理得PD=2

3

，
∵PD²+PE²=16=DE²，∴PE⊥PD．∵EF⊥PE，EF⊥DE∴，EF⊥平面PDE，又∵EF∥AD，∴AD⊥平面PDE，∴AD⊥PE，又∵直线AD，PD在平面APD内，且相交于D，∴PE⊥平面APD．
解法二：EF⊥PE，EF⊥DE∴，EF⊥平面PDE∴平面DEF⊥平面PDE
以DA所在的直线为 x轴，以DE所在的直线为y轴，在平面DPE内过D作DE的垂线，以垂线所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图
则D（0，0，0），A（3，0，0），P（0，3，

3

），E（0，4，0）
∴

DA

=（3，0，0），

DP

=（0，3，

3

），

EP

=（0，-1，

3

）．∵

DA

•

EP

=0，

DP

•

EP

=0，∴

DA

⊥

EP

，

DP

⊥

EP

∴DA⊥EP，DP⊥EP，∵DA，DP是平面ADP内的相交直线，∴PE⊥平面APD．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知AD⊥平面PDE，∴平面ADE⊥平面PDE
以DA所在的直线为 x轴，以DE所在的直线为y轴，在平面DPE内过D作DE的垂线，以垂线所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图
则D（0，0，0），A（3，0，0），P（0，3，

3

），E（0，4，0），F（

3

2

，4，0），B（3，2，0），∴

DB

=（3，2，0），

PF

=（

3

2

，1，-

3

）
∴cos＜

DB

，

PF

＞ =

DB •  PF

| DB |×|  PF |

=

13

5

设BD与PF所成的角为θ，则θ=＜

DB

，

PF

＞，∴cosθ=

13

5

（Ⅲ）由（Ⅱ）知

EP

=（0，-1，

3

）.

PF

=（

3

2

，1，-

3

）
∵PE⊥平面ADP，∴平面ADP的法向量为

n

=

EP

=（0，-1，

3

）．
设M是线段PF上一点，则存在0≤λ≤1，
使

PM

=λ

PF

∴

DM

=

DP

+

PM

═（0，3，

3

）+λ（

3

2

，1，-

3

）=（

3

2

λ，λ+3，-

3

λ+3）
.cos＜

n

，

DM

＞=

n • DM

| n |×| DM |

=

4λ

25λ2+48

，如果直线DM与平面ADC所成的角为30°，
那么|cos＜

n

，

DM

＞|=sin30°，即

4λ

25λ2+48

=±

1

2

解得λ2=

16

13

∵此方程在[0，1]内无解，
∴在线段PF上不存在一点M，使DM与平在ADP所成的角为30°．

点评：本题考查用向量法证明线面垂直，求两异面直线所成的角，验证是否存在一点M使得DM与平在ADP所成的角为30°的问题，用向量法解决此类问题大大降低了解题难度，是解此类题的一个优先扶把思路．