Question

（2013•成都一模）已知函数f（x）=ln（1+x），g（x）=a（x²-x）（a≠0，a∈R），h（x）=f（x）-g（x）．
（I）若关于X的不等式g（x）≤bx-2的解集为{x|-2≤x≤-1}，求实数a，b的值；
（II）若?x＞3，f（x）≤g（x成立，求实数a的取值范围；
（III）在函数f（x）的图象上是否存在不同的两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），使线段AB的中点的横坐标x₀与直线AB的斜率k之间满足k=h′（x₀）？若存在，求出x₀；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）先化简不等式g（x）≤bx-2，根据不等式g（x）≤bx-2的解集为{x|-2≤x≤-1}可知-2，-1是不等式所对应方程的两根，从而可求出实数a，b的值；
（II）恒成立求参数的问题常常利用参变量分离的方法，利用导数研究参变量另一侧函数的最值，从而求出所求；
（III）假设存在，根据k=h′（x₀）建立等式，然后移到一边利用换元法可证得式子恒大于0，从而说明不存在符合题意的两点．

解答：解：（I）g（x）≤bx-2⇒ax²-（2a-b）x-2≥0，
∵解集为{x|-2≤x≤-1}，∴ax²-（2a-b）x-2=0的两根为-2，-1，且a＜0，
∴

2a-b

a

=-3，

-2

a

=2
∴a=-1，b=-5．
（II）∵x＞3，∴a≤

ln(1+x)

2x-x2

=m（x），
m′（x）=

2x-x2-2(1-x2)ln(1+x)

(x+1)(2x-x2)2

，
令n（x）=2x-x²-2（1-x²）ln（1+x），
n′（x）=4x（1+x）＞0，且n（0）=0，
∴n（x）＞0⇒m′（x）＞0，∴m（x）在（3，+∞）上单调递增．
∴a≤m（3）=-

2

3

ln2，
∴a的取值范围是（-∞，-

2

3

ln2]．
（III）假设存在，不妨设-1＜x₁＜x₂，
k=

h(x1)-h(x2)

x1-x2

=

ln(1+x1)+a(x12-2x1)-ln(1+x2)-a(x22-2x2)

x1-x2

=

ln 1+x1 1+x2

x1-x2

+a（x₁+x₂）-2a，
∵h′（x₀）=

1

x0+1

+2ax0-2a，k=h′（x₀），
∴

ln 1+x1 1+x2

x1-x2

=

2

x1+x2+2

，
令t₁=1+x₁，t₂=1+x₂，
则

ln t1 t2

t1-t2

=

2

t1+t2

，
令t=

t1

t2

，u（t）=lnt-

2t-2

t+1

（0＜t＜1）
则u′（t）=

(t-1)2

t(t+1)2

＞0，∴u（t）在（0，1）上单调递增．
∴u（t）＜u（1）=0，故k≠h′（x₀）．
∴不存在符合题意的两点．

点评：本题主要考查了函数恒成立，以及利用导数研究函数的单调性，也考查了换元法的应用，同时考查了运算求解的能力，属于难题．