Question

18．设y=f（x）（x∈R）是奇函数，且x＜0时，f（x）=log₂（x²-x）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（m）=1，求m的值．

Answer 1

分析 （1）先根据奇偶性求出在x=0处的值，然后利用奇偶性求出x＞0时的函数解析式，最后用分段函数表示即可．
（2）利用（1）的结论，建立方程，即可求m的值．

解答 解：（1）∵f（x）是R上的奇函数
∴f（0）=0
设x＞0，则-x＜0，f（-x）=log₂（x²+x）=-f（x）
∴f（x）=-log₂（x²+x） （x＞0）
∴f（x）的解析式为f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}（{x}^{2}-x），x＜0}\\{0，x=0}\\{-lo{g}_{2}（{x}^{2}+x），x＞0}\end{array}\right.$；
（2）m＜0时，f（m）=log₂（m²-m）=1，∴m²-m=2，∴m=-1．
m＞0时，f（m）=-log₂（m²+m）=1，∴m²+m=$\frac{1}{2}$，∴m=$\frac{-1+\sqrt{3}}{2}$．
综上，m=-1或m=$\frac{-1+\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题主要考查了利用奇偶性求函数的解析式，以及对数的运算性质，属于基础题．