Question

是否存在一个实数k，使方程8x²+6kx+2k+1=0的两个根是一个直角三角形的两个锐角的正弦？

Answer 1

设直角三角形两个锐角为α，β，则sinα，sinβ是方程8x²+6kx+2k+1=0的两个根．
∵α+β=90°，∴sinβ=cosα
根与系数的关系，得

sinα+cosα=- 3k 4 ① sinαcosα= 2k+1 8 ②

①²-2×②得9k²-8k-20=0
∴k₁=2，k₂=-

10

9

当k=2时变为8x²+12x+5=0，
△=144-160＜0
∴k=2舍去．
将k=-

10

9

代入②，得sinα•cosα=sinα•sinβ=-

11

72

，
∴sinα，sinβ异号，应有sinα＜0或sinβ＜0，实际上sinα＞0，sinβ＞0，
∴k=-

10

9

不满足题意，
∴k值不存在．