Question

8．已知x∈（1，5），则函数y=$\frac{2}{x-1}$+$\frac{1}{5-x}$的最小值为$\frac{3+2\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 求函数的导数，利用导数研究函数的单调性，结合函数最值和导数之间的关系进行求解即可．

解答 解：函数的导数f′（x）=-$\frac{2}{（x-1）^{2}}$+$\frac{1}{（x-5）^{2}}$=$\frac{2（x-5）^{2}-（x-1）^{2}}{（x-1）^{2}（x-5）^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-18x+49}{（x-1）^{2}（x-5）^{2}}$，
由f′（x）=0得x²-18x+49=0得x=$\frac{18±\sqrt{1{8}^{2}-4×49}}{2}$=$\frac{18±8\sqrt{2}}{2}$=9±4$\sqrt{2}$，
∵x∈（1，5），
∴x=9-4$\sqrt{2}$，
当1＜x＜9-4$\sqrt{2}$时，f′（x）＜0，函数单调递减，
当9-4$\sqrt{2}$＜x＜5时，f′（x）＞0，函数单调递增，
故当x=9-4$\sqrt{2}$时，函数f（x）取得极小值，同时也是最小值，此时f（9-4$\sqrt{2}$）=$\frac{2}{9-4\sqrt{2}-1}$+$\frac{1}{5-9+4\sqrt{2}}$
=$\frac{2}{8-4\sqrt{2}}$+$\frac{1}{4\sqrt{2}-4}$=$\frac{1}{4-2\sqrt{2}}$+$\frac{1}{4\sqrt{2}-4}$=$\frac{4+2\sqrt{2}}{16-8}$+$\frac{4\sqrt{2}+4}{32-16}$=$\frac{4+2\sqrt{2}}{8}$+$\frac{4\sqrt{2}+4}{16}$
=$\frac{2+\sqrt{2}}{4}$+$\frac{\sqrt{2}+1}{4}$=$\frac{3+2\sqrt{2}}{4}$，
故答案为：$\frac{3+2\sqrt{2}}{4}$

点评 本题主要考查函数最值的求解，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性和最值是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力．