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    精英家教网已知抛物线y2=2x．
    （1）在抛物线上任取二点P1（x1，y1），P2（x2，y2），经过线段P1P2的中点作直线平行于抛物线的轴，和抛物线交于点P3，证明△P1P2P3的面积为
    116
    |y1-y2|3    ；
    （2）经过线段P1P3、P2P3的中点分别作直线平行于抛物线的轴，与抛物线依次交于Q1、Q2，试将△P1P3Q1与△P2P3Q2的面积和用y1，y2表示出来；
    （3）仿照（2）又可做出四个更小的三角形，如此继续下去可以做一系列的三角形，由此设法求出线段P1P2与抛物线所围成的图形的面积．
    分析：（1）根据P1和P2的坐标可表示出P1P2的中点的坐标，进而求得P3的横坐标和纵坐标．代入△P1P2P3的面积表达式，化简整理即可．
    （2）根据P1和P3的坐标可表示出P1P3的中点的坐标，可求出点Q1的横、纵坐标和点Q2的横、纵坐标，再由行列式求面积的方法求出面积．
    （3）根据线段P1P2与抛物线所围成的图形的面积等于S△p1p2p3 +（S△P1 Q2P3+s△p3Q2p2 ）可得到答案．
    解答：解：（1）∵P1的坐标为（x1，y1），P2的坐标为（x2，y2），
    ∴P1P2的中点为M1(
    x1+x2
    2
    ，
    y1+y2
    2
    )
    点P3的横坐标x=
    y2
    2
    =
    (y1+y2)2
    8
    ，纵坐标y=
    y1+y2
    2

    △P1P2P3的面积=
    1
    2
    .
    x1y11
    x2y21
    (y1+y2)2
    8
    y1+y2
    2
    		1
    .
    的绝对值
    =
    1
    2
    |x1y2-x2y1+
    x2-x1
    2
    (y1+y2)+
    y1-y2
    8
    (y1+y2)2|
    =
    1
    2
    |
    y12y2
    2
    -
    y1y22
    2
    +
    y22-y12
    2
    (y1+y2)+
    y1-y2
    8
    (y1+y2)2|
    =
    1
    16
    |y1-y2|•|4y1y2-2(y1+y2)2+(y1+y2)2|
    =
    1
    16
    |y1-y2|•|-(y1-y2)2|
    =
    1
    16
    |y1 -y2|3    ．

    （2）∵P1的坐标为（x1，y1），
    P3的坐标为(
    (y1+y2)2
    8
    ，
    y1+y2
    2
    )    ，
    ∴P1P3的中点为M2(
    5y12+2y1y2+y22
    16
    ，
    3y1+y2
    4
    )    ，
    点Q1的横坐标x=
    y2
    2
    =
    (3y1+y2)2
    32
    ，纵坐标y=
    3y1+y2
    4
    .
    同理，点Q2的横坐标x=
    (y1+3y2)2
    32
    ，纵坐标y=
    y1+3y2
    4
    .
    △P1P3Q1的面积+△P2P3Q2的面积
    =
    1
    2
    .
    x1y11
    (3y1+y2)2
    32
    3y1+y2
    4
    		1
    (y1+y2)2
    8
    y1+y2
    2
    		1
    .
    的绝对值+
    1
    2
    .
    (y1+y2)2
    8
    y1+y2
    2
    		1
    (y1+3y2)2
    32
    y1+3y2
    4
    		1
    x2y21
    .
    的绝对值
    =
    1
    16
    |y22[2(y1+y2)-(3y1+y2)]+
    (y1+y2)(3y1+y2)
    8
    [2(y1+y2)-(3y1+y2)]    +
    y2
    4
    [(3y1+y2)2-4(y1+y2)2]|    +
    1
    16
    |y22[2(y1+y2)-(y1+3y2)]+
    (y1+y2)(y1+3y2)
    8
    [2(y1+y2)-(y1+3y2)]    +
    y2
    4
    [(y1+3y2)2-4(y1+y2)2]|
    =
    1
    128
    |y2-y1|•|(y1-y2)2|+
    1
    128
    |y1    -y2|•|（y2-y1）2|
    =
    1
    64
    |y1-y2|3    ．

    （3）线段P1P2与抛物线所围成的图形的面积
    S=S△p1p2p3 +（S△P1 Q2P3+s△p3Q2p2 ）
    =
    1
    16
    |y1-y2|3+
    1
    64
    |y1-y2|3+
    1
    256
    |y1-y2|3
    =
    1
    16
    |y1-y2|3
    1-
    1
    4
    =
    1
    12
    |y1-y2|3    ．
    点评：本题主要考查抛物线的基本性质和用行列式的方法求面积．考查计算能力和综合运用能力．
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    2
    3
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    B、（0，1）
    C、（1，0）
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    ⊥
    OB
    ，
    OM
    =
    OA
    +
    OB
    ，O为坐标原点．
    （1）若|
    OA
    |=|
    OB
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    		13
    		13
    ．．

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    23
    ，0)    ，求抛物线上距离点A最近的点P的坐标及相应的距离|PA|；
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