Question

已知双曲线的离心率为e，右顶点为A，左、右焦点分别为F₁、F₂，点E为右准线上的动点，∠AEF₂的最大值为θ．
（1）若双曲线的左焦点为F₁（-4，0），一条渐近线的方程为3x-2y=0，求双曲线的方程；
（2）求sinθ（用e表示）；
（3）如图，如果直线l与双曲线的交点为P、Q，与两条渐近线的交点为P'、Q'，O为坐标原点，求证：．

Answer 1

解：（1）方法1
双曲线的左焦点为F₁（-4，0），
设双曲线的方程为，
则其渐近线的方程为，即．
又∵一条渐近线的方程是，
∴，得，．
故双曲线的方程为．
方法2
∵双曲线的一条渐近线是3x-2y=0，即，
∴可设双曲线的方程为．
∵焦点是（-4，0），
∴由得4λ+9λ=16，
∴，
∴双曲线的方程为．
（2）设经过点A、F₂的圆C与准线相切于点M，交EF₂于点N．
∵∠AMF₂=∠ANF₂≥∠AEF₂（当E与M重合时取“=”），
∴∠AMF₂=θ．
∵A（a，0），F₂（c，0），
∴，
又∵，
∴圆C的半径．
由正弦定理得，
∴．
（3）证明：方法1
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=mx+n，
代入中得（b²-a²m²）x²-2a²mnx-a²（n²+b²）=0．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），线段PQ的中点为G（α，β），
则．
同理，将y=mx+n代入渐近线方程中，
得（b²-a²m²）x²-2a²mnx-a²n²=0．
设P'（x'₁，y'₁），Q'（x'₂，y'₂），
线段P'Q'的中点为G'（α'，β'），
则=，
∴α=α'，即线段PQ与线段P'Q'有共同的中点．
当直线l的斜率不存在时，即直线l垂直于x轴时，
由对称性可知线段PQ与线段P'Q'有共同的中点
．∴，即．
方法2
当直线l的斜率不存在或为零时，
即直线l垂直于x轴或垂直于y轴时，
由对称性可知线段PQ与线段P'Q'有共同的中点，
∴|PP'|=|QQ'|．
当直线l的斜率存在且不为零时，可设l：y=kx+m（k≠0）．
设PQ的中点为G（x₀，y₀），P'Q'的中点为G'（x'₀，y'₀），
则由点差法可得，
且，
∴点G、G'在直线l'：，
即上．
又∵点G、G'在直线l：y=kx+m上，
∴点G、G'同为直线l与l'的交点．
故点G、G'重合，
∴，
即．
分析：（1）方法1：设双曲线的方程为，其渐近线的方程为．因为一条渐近线的方程是，所以，由此能求出双曲线的方程．
方法2：双曲线的一条渐近线是3x-2y=0，设双曲线的方程为．由焦点是（-4，0），得4λ+9λ=16，由此能求出双曲线的方程．
（2）设经过点A、F₂的圆C与准线相切于点M，交EF₂于点N．由∠AMF₂=∠ANF₂≥∠AEF₂，知∠AMF₂=θ．由A（a，0），F₂（c，0），知，由此能求出sinθ（用e表示）．
（3）方法1：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=mx+n，代入中得（b²-a²m²）x²-2a²mnx-a²（n²+b²）=0．设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），线段PQ的中点为G（α，β），则．由此能证明．
方法2：当直线l的斜率不存在或为零时，即直线l垂直于x轴或垂直于y轴时，由对称性可知线段PQ与线段P'Q'有共同的中点，所以|PP'|=|QQ'|．设l：y=kx+m（k≠0）．设PQ的中点为G（x₀，y₀），P'Q'的中点为G'（x'₀，y'₀），则由点差法可得，且，由此能够证明．
点评：通过几何量的转化考查用待定系数法求曲线方程的能力，通过直线与圆锥曲线的位置关系处理，考查学生的运算能力．通过向量与几何问题的综合，考查学生分析转化问题的能力，探究研究问题的能力，并体现了合理消元，设而不解的代数变形的思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．