Question

已知数列{a_n}各项均为正数，满足n

a

2 n

+(1-n2)a n-n=0．
（1）计算a₁，a₂，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{

an

2n

}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）将已知条件因式分解为（na_n+1）（a_n-n）=0，再由数列{a_n}各项均为正数，能求出a₁，a₂和数列{a_n}的通项公式；
（2）由（1）知数列{a_n}为等差数列，而{

1

2n

}为等比数列，利用错位相减法能求出数列{

an

2n

}的前n项和S_n．

解答：解：（1）∵n

a

2 n

+(1-n2)a n-n=0，
∴（na_n+1）（a_n-n）=0，
又∵数列{a_n}各项均为正数，
∴a_n=n，
∴a₁=1，a₂=2．
（2）∵a_n=n，∴

an

2n

=

n

2n

，
∴S_n=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n-1

2n-1

+

n

2n

，①
2S_n=

1

1

+

2

2

+

3

22

+…+

n-1

2n-2

+

n

2n-1

，②
错位相减，②-①，得：
S_n=1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

-

n

2n

=

1×(1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n

=2-

n+2

2n

．

点评：本题考查数列的通项公式和数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意因式分解和错位相减法的合理运用．