Question

如图，平面PCBM⊥平面ABC,∠PCB=90°,PM∥BC,直线AM与直线PC所成的角为60°，又AC=1,BC=2PM=2,∠ACB=90°      

（Ⅰ）求证：AC⊥BM;

（Ⅱ）求二面角M-AB-C的大小；

（Ⅲ）求多面体PMABC的体积.

Answer 1

本题主要考察异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角、棱锥体积等有关知识，考察思维能力和空间想象能力、应用向量知识解决数学问题的能力、化归转化能力和推理运算能力。

解法一：

（Ⅰ）∵平面PMBC⊥平面ABC，AC⊥BC，AC平面ABC

∴AC⊥平面PMBC，

又∵BM平面PMBC

∴AC⊥BM

（Ⅱ）取BC的中点N，则CN=1，连结AN，MN，，

∵平面PCBM⊥平面ABC，平面PCBM平面ABC=BC，PC⊥BC

∴PC⊥平面ABC

∵，∴，从而

作NH⊥AB于H，连结MH，则由三垂线定理知，AC⊥MH，

从而MHN为二面角M-AB-C的平面角

直线AM与直线PC所成的角为60°

∴AMN=60°

在ACN中，由勾弦定理得AN=

在RtAMN中，MN=AN?cotAMN=

在RtBNH中，NH=BN?sinABC=BN?

在RtMNH中，

故二面角M-AB-C的大小为

（Ⅲ）因多面体PMABC就是四棱锥A-BCPM