Question

（2006•静安区二模）设函数f（x）=a^x+3a（其中a＞0且a≠1）．
（1）求函数y=f^-1（x）的解析式；
（2）设g（x）=log_a（x-a），是否存在实数a，使得当x∈[a+2，a+3]时，恒有|f^-1（x）+g（x）|≤1成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）将y=a^x+3a作为方程利用指数式和对数式的互化解出x，然后确定原函数的值域即为反函数的定义域；
（2）设h（x）=f^-1（x）+g（x），然后求出h（x）在闭区间[a+2，a+3]上的最小值与最大值分，使最大值与最小值都小于等于，建立不等式组进行求解即可．

解答：解：（1）设y=a^x+3a，则a^x=y-3a…（2分），
两边取对数得：x=log_a（y-3a）…（4分），
所以f^-1（x）=log_a（x-3a）…（6分）
（2）因为x∈[a+2，a+3]时，函数有意义，所以（a+2）-3a=2-2a＞0，所以0＜a＜1，…（7分）
设h（x）=f^-1（x）+g（x），则h(x)=loga(x2-4ax+3a2)，二次函数u=x²-4ax+3a²的对称轴为x=2a＜2，
所以u=x²-4ax+3a²在x∈[a+2，a+3]上为增函数，
当x=a+2时，取得最小值4（1-a），当x=a+3时取得最大值3（3-2a）…（9分）
从而可得h(x)=loga(x2-4ax+3a2)在闭区间[a+2，a+3]上的最小值与最大值分别为log_a3（3-2a），log_a4（1-a）…（11分）
当x∈[a+2，a+3]时，恒有|f^-1（x）+g（x）|≤1成立的充要条件为

0＜a＜1 loga4(1-a)≤1 loga3(3-2a)≥-1

，…（13分）   
 解得0＜a≤

9- 57

12

．   …（14分）

点评：本题主要考查了函数解析式求解，以及反函数和函数恒成立问题的求解，同时考查了分析问题的能力和运算求解的能力，属于中档题．