如果把两条异面直线看成“一对”,那么六棱锥的棱所在的12条直线中,异面直线共有( )
A.12对 B.24对 C.36对 D.48对
B
本题以六棱锥为依托,考查异面直线的概念及判断,以及空间想象能力.
解法一:如图,任何两条侧棱不成异面直线,任何两条底面上的棱也不成异面直线,所以,每对异面直线必然其中一条是侧棱而另一条为底面的棱,每条侧棱,可以且只有与4条底面上的棱组成4对异面直线,又由共6条侧棱,所以异面直线共6×4=24对.
解法二:六棱锥的棱所在12条直线中,能成异面直线对的两条直线,必定一条在底面的平面内,另一条是侧棱所在直线.底面棱所在直线共6条,侧棱所在直线也有6条,各取一条配成一对,共6×6=36对,因为,每条侧棱所在的直线,与底面内的6条直线有公共点的都是2条,所以,在36对中不成异面直线的共有6×2=12对.所以,六棱锥棱所在的12条直线中,异面直线共有36-12=24对.
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