Question

设椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为2．
（1）求椭圆的方程．
（2）若P是该椭圆上的一个动点，F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点，求的最大值和最小值．

Answer 1

解：（1）设所求的椭圆方程为 （a＞b＞0），
由离心率e==
则 解得a=2，b=1，c=
故所求椭圆的方程为 ，
（2）由（1）知F₁（-，0），设P（x，y），
则 =（--x，-y）•（ -x，-y）=x²+y²-3=（3x²-8）
∵x∈[-2，2]，∴0≤x²≤4，
故 ∈[-2，1]
故最大值1，最小值-2．
分析：（1）先设出椭圆的标准方程，进而根据焦点坐标确定c，根据焦点于长轴上较近的端点距离确定a，进而根据a，b和c的关系确定b，椭圆方程可得．
（2）设出点P的坐标，进而可表示出 ，进而根据x的范围确定 的范围
点评：本题主要考查了椭圆的应用．解答的关键是利用待定系数法求椭圆方程及平面向量的基本计算．