Question

在直角坐标平面内，曲线C的参数方程为

x=2cosα y=sinα

（α为参数），经过变换

X= 1 2 x+1 Y=y

后曲线C变换为曲线C′
（1）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C′的极坐标方程；
（2）求证：直线x-

2

y-2=0与曲线C'的交点在曲线C上．

Answer 1

分析：（1）把曲线C的参数方程代入变换式

X= 1 2 x+1 Y=y

，再消去参数α即可得到曲线C^′；
（2）联立直线与曲线C'的方程，解得交点，代入曲线C的方程看是否成立即可得出答案．

解答：解：（1）把曲线C的参数方程为

x=2cosα y=sinα

（α为参数），代入经过变换

X= 1 2 x+1 Y=y

后得

X=1+cosα Y=sinα

，消去参数α得曲线C'：（X-1）²+Y²=1，
即曲线C^′是以（1，0）为圆心，1为半径的圆，故其极坐标方程为ρ=2cosθ．
（2）联立得

x- 2 y-2=0 (x-1)2+y2=1

，解得

x=2 y=0

或

x= 2 3 y=- 2 2 3

，即两交点为(2，0)，(

2

3

，-

2 2

3

)．
由曲线C的参数方程

x=2cosα y=sinα

（α为参数），消去参数α得

x2

4

+y2=1．
把两交点为(2，0)，(

2

3

，-

2 2

3

)代入上述方程得：

x2

4

+0=1，

( 2 3 )2

4

+(-

2 2

3

)2=1，
可知该两点均在曲线C上．

点评：正确理解变换和方程组的解与曲线的交点之间的关系是解题的关键．