Question

已知x₁是方程10^x=-x-2的解，x₂是方程lgx=-x-2的解，函数f（x）=（x-x₁）（x-x₂），则（　　）

A．f（0）＜f（2）＜f（3）

B．f（2）=f（0）＜f（3）

C．f（3）＜f（0）=f（2）

D．f（0）＜f（3）＜f（2）

Answer 1

分析：设l：y=-x-2，设l与y=10^x，y=lgx分别相交于A，B两点，利用y=10^x与y=lgx互为反函数可得AB的中点在y=x上，从而可求得x₁+x₂的值，从而可知f（x）=（x-x₁）（x-x₂）的对称轴，再利用其单调性即可得到答案．

解答：解：设直线l的方程为：y=-x-2，设l与y=10^x，y=lgx分别相交于A，B两点，
∵y=10^x与y=lgx互为反函数，
∴它们的图象关于直线y=x对称，
由题意得：点A（x₁，-x₁-2）与点B（x₂，-x₂-2）关于直线y=x对称，
∴AB的中点在直线y=x上，
∴

-x1-2-x2-2

2

=

x1+x2

2

，
即-x₁-2-x₂-2=x₁+x₂，
∴x₁+x₂=-2，
∴f（x）=（x-x₁）（x-x₂）=x²-（x₁+x₂）x+x₁x₂=x²-2x+x₁x₂，
其对称轴方程为：x=-1，
∴f（x）在[-1，+∞）上单调递增，
∴f（0）＜f（2）＜f（3），
故选A．

点评：本题考查对数函数与指数函数的图象与性质，考查反函数的应用，考查二次函数的性质，属于难题．