Question

甲、乙两运动员进行射击训练，已知他们击中目标的环数都稳定在7、8、9、10环，且每次射击成绩互不影响，射击环数的频率分布表如下：

若将频率视为概率，回答下列问题：
（1）求表中x，y，z的值及甲运动员击中10环的概率；
（2）求甲运动员在3次射击中至少有一次击中9环以上（含9环）的概率；
（3）若甲运动员射击2次，乙运动员射击1次，表示这3次射击中击中9环以上（含9环）的次数，求的分布列及

Answer 1

（1）0.35;（2）0.992;（3）2.35，分布列如下：

ξ	0	1	2	3
P	0.01	0.11	0.4	0. 48

试题分析：（1）结合频率分布表、频率之和为1的性质和频率的计算公式去求；（2）利用“至少有一次击中9环以上（含9环）”的对立事件是“三次都没有击中9环以上（含9环）”，而且三次射击的事件都是彼此相互独立的，所以“三次都没有击中9环以上（含9环）”的概率是0.2³，再用间接法求.（3）先根据独立事件的乘法公式求出随机变量各取值的概率，再写出其分布列和数学期望.
试题解析：(1)由题意可得x=100(10+10+35)=45，y=1(0.1+0.1+0.45)=0.35，
因为乙运动员的射击环数为9时的频率为1(0.1+0.15+0.35)=0.4，所以z=0.4×80=32，
由上可得表中x处填45，y处填0.35，z处填32．                 3分
设“甲运动员击中10环”为事件A，则P(A)=0.35，
即甲运动员击中10环的概率为0.35.                            4分
(2)设甲运动员击中9环为事件A₁，击中10环为事件A₂，则甲运动员在一次射击中击中9
环以上（含9环）的概率为P(A₁+A₂)=P(A₁)+P(A₂)=0.45+0.35=0.8，
故甲运动员在3次射击中至少有一次击中9环以上（含9环）的概率
P=1[1P(A₁+A₂)]³=10.2³=0.992       7分
(3)ζ的可能取值是0，1，2，3，则P(ζ=0)=0.2²×0.25=0.01


                            10分
所以ξ的分布列是

ξ	0	1	2	3
P	0.01	0.11	0.4	0. 48

                 12分