Question

已知：△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD⊥平面ABC，且EC，DB在平面ABC的同侧，M为EA的中点，CE=CA=2BD．求证：

(1)DE=DA；

(2)平面BDM⊥平面ECA；

(3)平面DEA⊥平面ECA．

(提示：取AC中点N，连接MN，BN)

Answer 1

答案：
解析：

1．证明：(1)取AC中点N，连接MN，BN． 因为△ABC为正三角形，所以BN⊥AC． 又由于EC⊥平面ABC，BD⊥平面ABC，所以EC∥BD，EC⊥BN． 又M为AE中点，EC=2BD，所以MNBD． 所以四边形MNBD是平行四边形． 由BN⊥AC，EC⊥BN，得BN⊥平面AEC，所以DM⊥平面AEC． 则DM⊥AE．从而AD=DE． (2)因为DM⊥平面AEC，DM平面BDM，所以平面BDM⊥平面ECA． (3)因为DM⊥平面AEC，DM平面DEA，所以平面DEA⊥平面ECA．