Question

矩形ABCD(AB≤BC)中,AC=2,沿对角线AC把它折成直二面角B－AC－D后,BD=,求AB、BC的长.

 

翰林汇

Answer 1

AB＝，BC＝

解析:

如图，

 

分别过B、D作BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，

设∠BAC＝θ，则AB＝ACcosθ＝2cosθ，

BE＝DE＝ABsinθ＝sin2θ,

AE＝ABcosθ＝2cos²θ∴EF＝AC－2AE

＝2＝－2cos2θ

折叠后，在平面ACD内过E作EG∥FD,且EG=FD,连接DG、BG、BD，则∠BEG为二面角B－AC－D的平面角，∴∠BEG＝90°

于是BG＝BE＝sin2θ＝2sin2θ

∴BG²＋DG²＝BD²，即：（2sin2θ）²＋（－2cos2θ）²＝5

∴4（cos2θ）²＝1,∴cos2θ＝±，

∵AB≤BC，∴cos2θ＝－∴cosθ＝，

故AB＝，BC＝