Question

一项试验有两套方案，每套方案试验成功的概率都是

2

3

，试验不成功的概率都是

1

3

甲随机地从两套方案中选取一套进行这项试验，共试验了 3次，每次实验相互独立，且要从两套方案中等可能地选择一套．
（I）求3次试验都选择了同一套方案且都试验成功的概率：
（II）记3次试验中，都选择了第一套方案并试难成功的次数为X，求X的分布列和期望EX．

Answer 1

分析：记事件“一次试验中，选择第i套方案并试验成功”为A_i，i=1，2，则P（A_i）=

1

C 1 2

×

2

3

=

1

3

．
（Ⅰ）记事件“一次试验中，选择第i套方案并试验成功”为A_i，i=1，2，则P（A_i）=

1

C 1 2

×

2

3

=

1

3

．由此能求出3次试验选择了同一套方案且都试验成功的概率．
（Ⅱ）X的可能值为0，1，2，3，则X～B（3，

1

3

），P（X=k）=C₃^k（

1

3

）^k（

2

3

）^3-k，k=0，1，2，3．由此能求出X的分布列和期望．

解答：解：记事件“一次试验中，选择第i套方案并试验成功”为A_i，i=1，2，则P（A）=(

2

3

)3+(

1

3

)3=

1

3

．
（Ⅰ）3次试验选择了同一套方案且都试验成功的概率
P=P（A₁•A₁•A₁+A₂•A₂•A₂）=（

1

3

）³+（

1

3

）³=

2

27

．（4分）
（Ⅱ）X的可能值为0，1，2，3，则X～B（3，

1

3

），
P（X=k）=C₃^k（

1

3

）^k（

2

3

）^3-k，k=0，1，2，3．（8分）
X的分布列为

X	0	1	2	3
P	8 27	4 9	2 9	1 27

EX=3×

1

3

=1．（12分）

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，要合理运用二项分布的性质进行解题．