Question

已知椭圆的左，右两个顶点分别为A、B，曲线C是以A、B两点为顶点，焦距为的双曲线。设点P在第一象限且在曲线C上，直线AP与椭圆相交于另一点T。
（1）求曲线C的方程；
（2）设P、T两点的横坐标分别为x₁、x₂，求证x_1·x₂为一定值；

（3）设与（其中为坐标原点）的面积分别为与，且，求的取值范围。

Answer 1

 解：（1）依题意可得，
双曲线的焦距为，，
双曲线的方程为
（2）证明：设点、（，），直线的斜率为（）， 则直线的方程为
联立方程组 整理，得
解得或
同理方程组可得：
为一定值
（3）设点、（，）， 则，． ，，即
点在双曲线上，则，
所以，即
又点是双曲线在第一象限内的一点，所以，
由（2）知，，即，设，则，
，在上单调递减，在上单调递增
当，即时，
当，即时，
的取值范围为