Question

已知函数且．
（I）求m的值；
（II）判定f（x）的奇偶性；
（III）证明f（x）在上是单调递增函数．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵f（4）=，
∴f（4）=4^m+=，
∴4^m=4，m=1…4
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=x+，
∵f（x）的定义域为{x|x≠0}，…5
又f（-x）=-x-=-（x+）=-f（x），
∴f（x）是奇函数…8
（Ⅲ）设≤x₁＜x₂，则
f（x₁）-f（x₂）=x₁+-（x₂+）=（x₁-x₂）（1-）=（x₁-x₂）…11
∵≤x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞2，
∴＞0，…13
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴f（x）在上是单调递增函数．
分析：（Ⅰ）由于f（4）=，故f（4）=4^m+=，从而可求得m；
（Ⅱ）利用奇偶函数的定义即可判断f（x）的奇偶性；
（Ⅲ）利用单调性的定义即可判断之．可设≤x₁＜x₂，作差f（x₁）-f（x₂）判断即可．
点评：本题考查函数的奇偶性与单调性，着重考查对奇偶性与单调性概念的理解与应用，属于中档题．