【题目】已知函数
，
.
（1）讨论
的单调性；
（2）若
恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】（1）当
时，
的单调递增区间是
，无单调递减区间；当
时，的单调递增区间是
，
，单调递减区间是
；当
时，的单调递增区间是
，
，单调递减区间是
；（2）
.
【解析】
（1）对
求导，对参数
进行分类讨论，即可求得函数的单调性；
（2）分离参数，根据
的取值不同，进行分类讨论，将问题转化为函数最值的问题进行处理.
（1）
当
即时，
当
即时，由
得
或
；由
得
当
即时，由得
或
；由得
综上：
当时，的单调递增区间是，无单调递减区间
当时，的单调递增区间是，，
单调递减区间是
当时，的单调递增区间是，，
单调递减区间是
（2）
①当
时，
成立，故
②当
即
时，
令
，即求
在
上的最大值
∵
令
则
在上为减函数，且
故当
时，
，
时，
故在
上单调递增，
上单调递减
∴在上的最大值为
∴
③当
时，
即求在
上的最小值
∵
时，，时，
∴在上单调递减，
上单调递增
∴在上的最小值为
∴
.
∴综上，.
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【题目】古希腊数学家阿波罗尼斯在其巨著《圆锥曲线论》中提出“在同一平面上给出三点，若其中一点到另外两点的距离之比是一个大于零且不等于1的常数，则该点轨迹是一个圆”现在，某电信公司要在甲、乙、丙三地搭建三座5G信号塔来构建一个三角形信号覆盖区域，以实现5G商用，已知甲、乙两地相距4公里，丙、甲两地距离是丙、乙两地距离的
倍，则这个三角形信号覆盖区域的最大面积（单位：平方公里）是（ ）
A.
B.
C.
D.
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【题目】每年9月第三周是国家网络安全宣传周.某学校为调查本校学生对网络安全知识的了解情况，组织了《网络信息辨析测试》活动，并随机抽取50人的测试成绩绘制了频率分布直方图如图所示:
（1）某学生的测试成绩是75分，你觉得该同学的测试成绩低不低?说明理由；
（2）将成绩在
内定义为“合格”；成绩在
内定义为“不合格”.①请将下面的
列联表补充完整； ②是否有90%的把认为网络安全知识的掌握情况与性别有关?说明你的理由；
合格 | 不合格 | 合计 | |
男生 | 26 | ||
女生 | 6 | ||
合计 |
（3）在（2）的前提下，对50人按是否合格，利用分层抽样的方法抽取5人，再从5人中随机抽取2人，求恰好2人都合格的概率.附:
| 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中，曲线C上的点
到点
的距离与它到直线
的距离之比为
，圆O的方程为
，曲线C与x轴的正半轴的交点为A，过原点O且异于坐标轴的直线与曲线C交于B，C两点，直线AB与圆O的另一交点为P，直线PD与圆O的另一交点为Q，其中
，设直线AB，AC的斜率分别为
；
（1）求曲线C的方程，并证明到点M的距离
；
（2）求
的值；
（3）记直线PQ，BC的斜率分别为
、
，是否存在常数
，使得
？若存在，求的值，若不存在，说明理由.
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【题目】在直角坐标系
中，曲线
的参数方程是
（
是参数）.以原点
为极点，以
轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线
的极坐标方程是
.
（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
（2）设
为曲线上的动点，过点且与垂直的直线交于点
，求
的最小值，并求此时点的直角坐标.
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【题目】如图，定义：以椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫做椭圆的“辅圆”.过椭圆第一象限内一点P作x轴的垂线交其“辅圆”于点Q，当点Q在点P的上方时，称点Q为点P的“上辅点”.已知椭圆
上的点
的上辅点为
.
（1）求椭圆E的方程；
（2）若
的面积等于
，求上辅点Q的坐标；
（3）过上辅点Q作辅圆的切线与x轴交于点T，判断直线PT与椭圆E的位置关系，并证明你的结论.
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【题目】已知函数
．
（1）求函数
的最小正周期；
（2）将函数的图象向右平移
个单位长度，再向下平移
（
）个单位长度后得到函数
的图象，且函数的最大值为2．
（ⅰ）求函数的解析式； （ⅱ）证明：存在无穷多个互不相同的正整数
，使得
．
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