Question

11．如图是甲、乙两位同学高二上学期历史成绩的茎叶图，有一个数字被污损，用a（3≤a≤8且a∈N）表示．
（1）若乙同学算出自己历史平均成绩是92分，求a的值及乙同学历史成绩的方差；
（2）求甲同学历史平均成绩不低于乙同学历史平均成绩的概率．

Answer 1

分析 （1）由乙同学历史平均成绩是92分，求出a=6，由此能求出乙同学的历史成绩的方差．
（2）甲同学的历史平均成绩为$\frac{88+90+93+94+95}{5}=92$分，若甲的历史平均成绩不低于乙同学历史平均成绩，求出a≤6，从而3≤a≤6且a∈N，由此能求出甲同学历史平均成绩不低于乙同学历史平均成绩的概率．

解答 解：（1）因为乙同学历史平均成绩是92分，
所以$\frac{86+88+92+98+90+a}{5}=92$，
解得a=6．…（3分）
此时乙同学的历史成绩的方差为：
${{S}_{乙}}^{2}$=$\frac{1}{5}[{（92-86）^2}+{（92-88）^2}+{（92-92）^2}+{（96-92）^2}+{（98-92）^2}]$=$\frac{104}{5}$．…（6分）
（2）甲同学的历史平均成绩为$\frac{88+90+93+94+95}{5}=92$分，…（8分）
若甲的历史平均成绩不低于乙同学历史平均成绩，
则$\frac{86+88+92+98+90+a}{5}≤92$，得a≤6．…（10分）
因为3≤a≤8，所以3≤a≤6且a∈N，
记甲同学历史平均成绩不低于乙同学历史平均成绩为事件A，
则事件A包含4个基本事件，而基本事件总数共有6个，
所以事件A的概率$P（A）=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$．…（13分）
答：（1）a的值为6，乙同学历史成绩的方差为$\frac{104}{5}$；
（2）甲同学历史平均成绩不低于乙同学历史平均成绩的概率为$\frac{2}{3}$．…（14分）

点评 本题考查实数值、方差的求法，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．