Question

已知以T=4为周期的函数f(x)=

m 1-x2 ，x∈(-1，1] 1-|x-2|，x∈(1，3]

，其中m＞0．若方程4f（x）=x恰有5个实数解，则m的取值范围为（　　）

• A．(

  15

  3

  ，

  8

  3

  )
• B．(

  4

  3

  ，

  8

  3

  )
• C．(

  15

  4

  ，

  63

  4

  )
• D．(

  4

  3

  ，

  7

  )

Answer 1

分析：根据对函数的解析式进行变形后发现当x∈（-1，1]，[3，5]，[7，9]上时，f（x）的图象为半个椭圆．根据图象推断要使方程恰有5个实数解，则需直线y=

x

4

与第二个椭圆相交，而与第三个椭圆不公共点．把直线分别代入椭圆方程，根据△可求得m的范围．

解答：解：：∵当x∈（-1，1]时，将函数化为方程x²+

y2

m2

=1（y≥0），此时，函数的图象实质上为一个半椭圆，其图象如图所示：
同时在坐标系中作出当x∈（1，3]时的函数图象，再根据周期性作出函数其它部分的图象．
由图易知直线 y=

x

4

与第二个半椭圆（x-4）²+

y2

m2

=1（y≥0）相交，而与第三个半椭圆（x-8）²+

y2

m2

=1 （y≥0）
无公共点时，方程恰有5个实数解，
将 y=

x

4

代入（x-4）²+

y2

m2

=1 （y≥0）得，（16m²+1）x²-128m²x+240m²=0，令t=16m²（t＞0），
则（t+1）x²-8tx+15t=0，由△=（8t）²-4×15t（1+t）＞0，得 t＞15．
由 16m² ＞15，且m＞0得 m＞

15

4

．
再将 y=

x

4

代入（x-8）²+

y2

m2

=1 化简，再由判别式△′＜0可得m＜

63

4

．
综上可得

15

4

＜m＜

63

4

，
故选C．

点评：本题主要考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，及函数的周期性，其中根据方程根与函数零点的关系，结合函数解析式进行分析，是解答本题的关键，属于中档题．