Question

如图，在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD为正方形，AE⊥平面CDE，已知AE=3，DE=4，∠ADE的余弦值为

4

5

．
（1）若F为DE的中点，求证：BE∥平面ACF；
（2）求直线BE与平面ABCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）连接AC，BD交于O，连OF，则OF为△DEB的中位线，通过OF∥BE证明BE∥平面ACF；
（2）过E作EH⊥AD于H，通过AE⊥CD，CD⊥AD证出CD⊥平面DAE后，得出CD⊥EH，结合EH⊥AD可以得到EH⊥平面ABCD，BH为BE在平面ABCD内的射影，∠EBH为所求角．在RT△EHB中求解即可．

解答：解：（1）证明：连接AC，BD交于O，连OF
∵F为DE中点，O为BD中点，
∴OF∥BE，OF?平面ACF，BE?平面ACF，
∴BE∥平面ACF．…（6分）
（2）过E作EH⊥AD于H，连接BH，
∵AE⊥平面CDE，CD?平面CDE，
∴AE⊥CD，
∵CD⊥AD，AE∩AD=A，AD、AE?平面DAE，
∴CD⊥平面DAE，EH?平面DAE，
∴CD⊥EH，CD∩AD=D，CD，
AD?平面ABCD，EH⊥平面ABCD，BH为BE在平面ABCD内的射影，
∴∠EBH为BE与平面ABCD的所成角的平面角，
在RT△EHB，由勾股定理得底面ABCD的边长AD=5．
又∵CD∥AB，∴AB⊥平面DAE，∴△ABE为直角三角形，∴BE=

BA2+AE2

=

25+9

，
∴BE=

34

，且HE=

EA•ED

AD

=

12

5

，
在RT△EHB中，sin∠EBH=

HE

BE

=

12 5

34

=

6 34

85

．
直线BE与平面ABCD所成角的正弦值为

6 34

85

．…（14分）

点评：本题考查直线和平面平行关系的判定，直线和平面所成角的计算．考查考查空间想象能力、转化、计算、推理论证能力．