Question

求直线a：2x+y-4=0关于直线l：3x+4y-1=0对称的直线b的方程．

Answer 1

分析：法一：使用到角公式求所求直线斜率，求得结果；
法二：利用垂直平分来求解对称直线方程．
法三：利用求轨迹方程的方法来求对称直线方程．

解答：解：由
2x+y-4=0，
3x+4y-1=0，
方法一：设直线b的斜率为k，又知直线a的斜率为-2，直线l的斜率为-

3

4

．
则

- 3 4 -(-2)

1+(- 3 4 )×(-2)

=

k-(- 3 4 )

1+k(- 3 4 )

．
解得k=-

2

11

．
代入点斜式得直线b的方程为
y-（-2）=-

2

11

（x-3），
即2x+11y+16=0．
方法二：在直线a：2x+y-4=0上找一点A（2，0），设点A关于直线l的对称点B的坐标为（x₀，y₀），
由3×

2+x0

2

+4×

0+y0

2

-1=0，

y0-0

x0-2

=

4

3

，
解得B（

4

5

，-

8

5

）．
由两点式得直线b的方程为

y-(-2)

-2-(- 8 5 )

=

x-3

3- 4 5

，
即2x+11y+16=0．
方法三：设直线b上的动点P（x，y）关于l：3x+4y-1=0的对称点Q（x₀，y₀），则有

3×

x+x0

2

+4×

y+y0

2

-1=0，

y-y0

x-x0

=

4

3

．
解得x₀=

7x-24y+6

25

，y₀=

-24x-7y+8

25

．
Q（x₀，y₀）在直线a：2x+y-4=0上，
则2×

7x-24y+6

25

+

-24x-7y+8

25

-4=0，
化简得2x+11y+16=0是所求直线b的方程．

点评：本题考查直线关于直线对称问题，三种方法各有优势，本题是基础题．