Question

如图，在四梭锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD=2，AB=1．点M线段PD的中点．
（I）若PA=2，证明：平面ABM⊥平面PCD；
（Ⅱ）设BM与平面PCD所成的角为θ，当棱锥的高变化时，求sinθ的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用条件证明PD⊥AM，PD⊥AB，可得PD⊥平面ABM．再利用两个平面垂直的判定定理证明平面ABM⊥平面PCD．
（Ⅱ）过点A在平面PAD内作AN⊥PD于N，可得AN就是点A到平面PCD的距离，设棱锥的高为x，则d=AN=

2x

4+x2

．在Rt△ABM中，利用勾股定理求得BM，再由
sinθ=

d

BM

，利用基本不等式求得求得sinθ的最大值．

解答：解：（Ⅰ）证明：∵PA平面ABCD，∴PA⊥AD．
∵点M为线段PD的中点，PA=AD=2，∴PD⊥AM．
又∵AB⊥平面PAD，∴PD⊥AB．∴PD⊥平面ABM．
又PD?平面PCD，∴平面ABM⊥平面PCD．…（4分）
（Ⅱ）设点B到平面PCD的距离为d，∵AB∥CD，∴AB∥平面PCD．
∴点B到平面PCD的距离与点A到平面PCD的距离相等．
过点A在平面PAD内作AN⊥PD于N，∵平面ABM⊥平面PCD，∴AN⊥平面PCD．
所以AN就是点A到平面PCD的距离．
设棱锥的高为x，则d=AN=

2x

4+x2

．
在Rt△ABM中，BM=

AB2+AM2

=

AB2+( PD 2 )2

=

1+ AD2+AP2 4

=

2+ x2 4

．∴sinθ=

d

BM

=

2x 4+x2

2+ x2 4

=

4x

32+12x2+x4

=

4

12+ 32 x2 +x2

．
因为12+

32

x2

+x2≥12+2

32

=(2

2

+2)2，当且仅当

32

x2

=x2，即x=

4	32

时，等号成立．
故sinθ=

4

12+ 32 x2 +x2

≤

4

(2 2 +2)2

=2

2

-2．…（12分）

点评：本题主要考查平面与平面垂直的判定定理的应用，直线和平面所成的角的定义和求法，属于中档题．