Question

2．定义在R上的函数f（x）满足f'（x）-f（x）=x•e^x，且$f（0）=\frac{1}{2}$，则$\frac{{x•{e^x}}}{f（x）}$的最大值为（　　）

• A． 1
• B． -$\frac{1}{2}$
• C． -1
• D． 0

Answer 1

分析 先构造函数，F（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，根据题意求出f（x）的解析式，即可得到$\frac{{x•{e^x}}}{f（x）}$=$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$，再根据基本不等式即可求出最大值．

解答 解：令F（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，则F′（x）=$\frac{f'（x）-f（x）}{{e}^{x}}$=x，
则F（x）=$\frac{1}{2}$x²+c，
∴f（x）=e^x（$\frac{1}{2}$x²+c），
∵f（0）=$\frac{1}{2}$，
∴c=$\frac{1}{2}$，
∴f（x）=e^x（$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$），
∴$\frac{{x•{e^x}}}{f（x）}$=$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$，
x＞0，$\frac{{x•{e^x}}}{f（x）}$=$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$=$\frac{2}{x+\frac{1}{x}}$≤1，
∴$\frac{{x•{e^x}}}{f（x）}$的最大值为1，
故选：A．

点评 本题考查了导数和函数的关系以及函数的值域问题，关键是构造函数和利用基本不等式求函数的值域，属于中档题．