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如图所示,已知在矩形ABCD中,AB=1,BC=a(a>0),PA⊥平面ABCD,且PA=1.
(I)问当实数a在什么范围时,BC边上能存在点Q,使得PQ⊥QD?
(II)当BC边上有且仅有一个点Q使得PQ⊥OD时,求二面角Q-PD-A的余弦值大小.

【答案】分析:(I)连接AQ,由已知中PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为矩形,我们易得PQ⊥QD?AQ⊥QD,由此我们易得以AD为半径的圆与BC应该有交点,再由AB=1,BC=a,即可得到满足条件的实数a的取值范围;
(II)取AD的中点M,过M作MN⊥PD,垂足为N,连接QM,QN,根据三垂线定理,我们易判断出∠QNM为二面角Q-PD-A的平面角,解三角形QMN,即可得到二面角Q-PD-A的余弦值大小.
解答:解:(I)连接AQ,∵PA⊥平面ABCD,
∴PA⊥QD,若PQ⊥QD成立,
即AQ⊥QD成立
∴点Q应为BC与以AB为直径的圆的公共点

故满足条件的实数a的取值范围为a≥2;
(II)由已知可得,当a=2时,BC上有且仅有一点满足题意,
此时Q点为BC的中点,
取AD的中点M,过M作MN⊥PD,垂足为N,连接QM,QN
由于QN⊥平面PAD,
∴∠QNM为二面角Q-PD-A的平面角
∵MD=1,PD=,且△DNM∽△DAP
∴MN=
从而在直角△QNM中,QN=
∴cos∠QNM==
点评:本题考查的知识点是直线与平面垂直的性质,二面角大小的求法,(I)的关键是将AQ⊥QD转化为BC与以AB为直径的圆的公共点;(II)的关键是求出二面角Q-PD-A的平面角.
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科目:高中数学 来源: 题型:

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(II)当BC边上有且仅有一个点Q使得PQ⊥OD时,求二面角Q-PD-A的余弦值大小.

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科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网如图所示,已知在矩形ABCD中,
AD
=4
3
,设
AB
=a,
BC
=b,
BD
=c
,试求|
a
+
b
+
c
|.

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科目:高中数学 来源:2014届吉林省高二4月月考理科数学试卷(解析版) 题型:解答题

如图所示,已知在矩形ABCD中,AB=1,BC=a(a>0),PA⊥平面AC,且PA=1.

(1)试建立适当的坐标系,并写出点P、B、D的坐标;

(2)问当实数a在什么范围时,BC边上能存在点Q,使得PQ⊥QD?

(3)当BC边上有且仅有一个点Q使得PQ⊥QD时,求二面角Q-PD-A的大小.

 

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