Question

已知x₁，x₂是关于x的一元二次方程x²-（m-1）x-（m-1）=0的两个解，设y=f（m）=（x₁+x₂）²-x₁x₂，求函数y=f（m）的解析式及值域．

Answer 1

分析：根据韦达定理求出x₁+x₂=m-1和x₁•x₂=-m+1，并由△＞0求出m的范围，代入再求出y=f（m）的解析式以及定义域，利用配方法求出函数的值域．

解答：解：由题意知，x₁，x₂是关于x的一元二次方程x²-（m-1）x-（m-1）=0的两个解，
∴x₁+x₂=m-1，x₁•x₂=-m+1，且△=（m-1）²+4（m-1）≥0，解得m≤-3或m≥1，
∵y=f（m）=（x₁+x₂）²-x₁x₂，
∴y=f（m）=（m-1）²+m-1=m²-m=(m-

1

2

)2-

1

4

，
∵m≤-3或m≥1，∴当m=1时，函数取到最小值是0，
∴此函数的值域是[0，+∞）．

点评：本题考查了函数解析式和值域的求法，根据韦达定理和判别式的符号，分别求出函数的解析式和定义域，再利用配方法求出函数的值域．