Question

若函数f（x）=（a-3）x-ax³在区间[-1，1]上的最小值等于-3，则实数a的取值范围是

1. A.
   （-2，+∞）
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   （-2，12]

Answer 1

B
分析：由函数f（x）=（a-3）x-ax³在区间[-1，1]上的最小值等于-3，由函数解析式先求其导函数，进而可判断函数在区间[-1，1]上的单调性，从而可求函数的最小值，即可
解答：由函数f（x）=（a-3）x-ax³ 求导函数为：f^′（x）=-3ax²+（a-3），
①当a=0时，f（x）=-3x，此时函数在定义域内单调递减，所以函数的最小值为：f（1）=-3，符合题意，
所以a=0符合题意；
②当a≠0时，f^‘（x）=0，即 3ax²=a-3
（I）当0＜a≤3时，f^′（x）=-3ax²+（a-3）为开口向下的二次函数，且△=12a（a-3）≤0，f^‘（x）≤0恒成立
所以函数f（x）在定义域上为单调递减函数，函数的最小值为f（1）=-3，此时符合题意；
（II）当a＜0或a＞3时，f^′（x）=0，即 3ax²=a-3
解得：，
①当，即a，
函数f（x）在[-1，-]上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以此时函数在定义域的最小值为f（-1）=-3或f（-）= 令
解得：a∈φ
，
即时，函数在定义域上始终单调递减，则函数在定义域上的最小值为f（1）=-3，符合题意．
综上所述：当即 时符合题意．
故选B
点评：此题考查了利用导数求函数的单调区间，还考查了学生在函数字母的不等式分类讨论思想及学生的计算能力．