Question

周长为20cm的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为

4000

27

π

cm³．

Answer 1

分析：设出圆柱的长和宽，然后可以写出圆柱体积的表达式，利用导数法，分析出体积取最大值时，自变量的值，代入即可求出圆柱体积的最大值．

解答：解：∵矩形的周长为20cm
设矩形的长为xcm，则宽为（10-x）cm
设绕其宽旋转成一个圆柱，
则圆柱的底面半径为xcm，高为（10-x）cm
则圆柱的体积V=πR²•h=πx²（10-x）
=4π•

1

2

x•

1

2

x•(10-x)
≤4π(

1 2 x+ 1 2 x+(10-x)

3

)3=

4000

27

π．
当且仅当

1

2

x=10-x，即x=

20

3

时，圆柱体积取最大值
此时V=

4000

27

πcm³
故答案为：

4000

27

πcm³

点评：本题考查的知识点是圆柱的体积，其中根据已知条件，设出圆柱的长和宽，然后可以写出圆柱体积的表达式，是解答本题的关键．