Question

【题目】已知函数f0（x）= （x＞0），设fn（x）为fn﹣1（x）的导数，n∈N* ．
（1）求2f1（ ）+ f2（ ）的值；
（2）证明：对任意n∈N* ， 等式|nfn﹣1（ ）+ fn（ ）|= 都成立．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f0（x）= ，∴xf0（x）=sinx，

则两边求导，[xf0（x）]′=（sinx）′，

∵fn（x）为fn﹣1（x）的导数，n∈N*，

∴f0（x）+xf1（x）=cosx，

两边再同时求导得，2f1（x）+xf2（x）=﹣sinx，

将x= 代入上式得，2f1（ ）+ f2（ ）=﹣1

（2）证明：由（1）得，f0（x）+xf1（x）=cosx=sin（x+ ），

恒成立两边再同时求导得，2f1（x）+xf2（x）=﹣sinx=sin（x+π），

再对上式两边同时求导得，3f2（x）+xf3（x）=﹣cosx=sin（x+ ），

同理可得，两边再同时求导得，4f3（x）+xf4（x）=sinx=sin（x+2π），

猜想得，nfn﹣1（x）+xfn（x）=sin（x+ ）对任意n∈N*恒成立，

下面用数学归纳法进行证明等式成立：

①当n=1时， 成立，则上式成立；

②假设n=k（k＞1且k∈N*）时等式成立，即 ，

∵[kfk﹣1（x）+xfk（x）]′=kfk﹣1′（x）+fk（x）+xfk′（x）

=（k+1）fk（x）+xfk+1（x）

又

= = = ，

∴那么n=k+1（k＞1且k∈N*）时．等式 也成立，

由①②得，nfn﹣1（x）+xfn（x）=sin（x+ ）对任意n∈N*恒成立，

令x= 代入上式得，nfn﹣1（ ）+ fn（ ）=sin（ + ）=±cos =± ，

所以，对任意n∈N*，等式|nfn﹣1（ ）+ fn（ ）|= 都成立

【解析】（1）由于求两个函数的相除的导数比较麻烦，根据条件和结论先将原函数化为：xf0（x）=sinx，然后两边求导后根据条件两边再求导得：2f1（x）+xf2（x）=﹣sinx，把x= 代入式子求值；（2）由（1）得，f0（x）+xf1（x）=cosx和2f1（x）+xf2（x）=﹣sinx，利用相同的方法再对所得的式子两边再求导，并利用诱导公式对所得式子进行化简、归纳，再进行猜想得到等式，用数学归纳法进行证明等式成立，主要利用假设的条件、诱导公式、求导公式以及题意进行证明，最后再把x= 代入所给的式子求解验证．
【考点精析】本题主要考查了基本求导法则的相关知识点，需要掌握若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导才能正确解答此题．