Question

已知P是椭圆＝1(a＞b＞0)上一点，是椭圆的焦点，，且点P到两准线的距离分别为

　　

(Ⅰ)求椭圆的准线方程；

(Ⅱ)求椭圆的方程；

(Ⅲ)又若已知定点B()、C()，Q()是椭圆上一动点(＞0)，QH⊥x轴，垂足为H，∠BQH＝α，∠HQC＝β．

求tan(α＋β)的最小值，并求此时Q点的坐标．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)∵椭圆上点P到两准线的距离分别为， 　　∴， 　　∴， 　　∴椭圆的准线方程为x＝±． (Ⅱ)法一：如图，由是直角三角形． 　　设椭圆离心率为e，由椭圆的第二定义及勾股定理得： 　　 　　∴． 　　 　　 　　∴＝4． 　　∴椭圆的方程为＝1． 　　法二：设P()由对称性，不妨设＞0，由题意，得 　　 　　由① 　　由⑤ 　　由④ 　　由②得， 　　∴ 　　⑥、⑦、⑧、⑨代入③，得 　　 　　化简，整理得：＝0， 　　∴c＝． 　　代入⑥得＝9，代入⑦得＝4， 　　∴椭圆的方程为＝1． (Ⅲ)∵点Q的坐标为()， 　　∴ 　　∴ 　　即 　　又Q上的动点， 　　∴ 　　∴ 　　∴ 　　∵ 　　∴ 　　当且仅当 　　此时 　　∴或