Question

某事件A发生的概率为P（0＜p＜1），则事件A在一次试验中发生的次数X的方差的最大值为（　　）

• A、

  3

  4

• B、

  1

  3

• C、

  1

  4

• D、

  1

  2

Answer 1

分析：事件A在一次试验中发生次数ξ的可能取值是0，1，根据事件A发生的概率p，写出事件A不发生的概率，表示出方差的表示式，化简整理，应用基本不等式求出最大值即可．

解答：证明：∵ξ所有可能取的值为0，1．
P（ξ=0）=1-p，P（ξ=1）=p，
∴Eξ=0×（1-p）+1×p=p．
∴Dξ=（0-p）²×（1-p）+（1-p）²×p
=p（1-p） ≤(

p+(1-p)

2

)2=

1

4

．
则事件A在一次试验中发生的次数X的方差的最大值为

1

4

故选C．

点评：本题考查离散型随机变量的方差和基本不等式的应用，是一个综合题，考查同学们解题的能力，概率经常与其他的知识点组合．