Question

17．在△ABC中，已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$，-2sinB），$\overrightarrow{n}$=（2cos²$\frac{B}{2}$-1，cos2B），且$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$，B为锐角，b=2，则△ABC面积S_△ABC的最大值为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 由条件利用两个向量共线的性质求得B=$\frac{π}{3}$，再利用余弦定理、基本不等式，求得△ABC面积S_△ABC的最大值

解答 解：由题意可得$\frac{{2cos}^{2}\frac{B}{2}-1}{\sqrt{3}}$=$\frac{cos2B}{-2sinB}$，即 $\frac{cosB}{\sqrt{3}}$=$\frac{cos2B}{-2sinB}$，求得tan2B=-$\sqrt{3}$=$\frac{2tanB}{1{-tan}^{2}B}$，
再结合△ABC中，B为锐角，求得tanB=$\sqrt{3}$，可得B=$\frac{π}{3}$．
再由余弦定理可得b²=4=a²+c²-2ac•cosB≥2ac-ac=ac，∴ac≤4，
故△ABC面积S_△ABC =$\frac{1}{2}$ac•sinB≤$\frac{1}{2}$•4•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
故选：C．

点评 本题主要考查两个向量共线的性质，余弦定理、基本不等式的应用，属于中档题．