Question

为加强环保建设，提高社会效益和经济效益，某市计划用若干年时间更换一万辆燃油型公交车，每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，替换车为电力型和混合动力型车，今年初投入了电力型公交车128辆，混合动力型公交车400辆；计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%，混合动车型车每年比上一年多投入a辆．
（1）求经过n年，该市被更换的公交车总数S（n）；
（2）若该市计划7年内完成全部更换，求a的最小值．

Answer 1

分析：（1）设a_n，b_n分别为第n年投入的电力型公交车，混合动力型公交车的数量，依题意，{a_n}是首项为128，公比为1+50%=

3

2

的等比数列，{b_n}是首项为400，公差为a的等差数列，由此可求出经过n年，该市被更换的公交车总数S（n）．
（2）若计划7年内完成全部更换，所以S（7）≥10000所以256[(

3

2

)7-1]+400×7+

7×6

2

a≥10000．由此能求出a的最小值．

解答：解：（1）设a_n，b_n分别为第n年投入的电力型公交车，混合动力型公交车的数量，
依题意，{a_n}是首项为128，公比为1+50%=

3

2

的等比数列，{b_n}是首项为400，公差为a的等差数列，{a_n}的前n项和Sn=

128×[1-( 3 2 )n]

1- 3 2

=256[(

3

2

)n-1].{b_n}的前n项和Tn=400n+

n(n-1)

2

a
所以经过n年，该市更换的公交车总数为：S(n)=Sn+Tn=256[(

3

2

)n-1]+400n+

n(n-1)

2

a.（7分）
（2）若计划7年内完成全部更换，
所以S（7）≥10000
所以256[(

3

2

)7-1]+400×7+

7×6

2

a≥10000
即21a≥3082，所以a≥146

16

21

又a∈N^*，所以a的最小值为147．（13分）

点评：本题考查数列的综合应用，解题时要认真审题，挖掘数量间的相互关系，合理地建立方程，仔细求解．