Question

如图，有一矩形钢板ABCD缺损了一角（图中阴影部分），边缘线OM上每一点到点D的距离都等于它到边AB的距离．工人师傅要将缺损的一角切割下来使剩余部分成一个五边形，若AB=1米，AD=0.5米，当沿切割线EF切割使剩余部分五边形ABCEF的面积最大时，AF的长度为（　　）米．

• A、

  1

  12

• B、

  1

  6

• C、

  5

  12

• D、

  3- 3

  3

Answer 1

分析：边缘线OM上每一点到点D的距离都等于它到边AB的距离．说明边缘线OM是以D为焦点，以AB所在直线为准线的抛物线的一部分，故以AD所在直线为Y轴，以AD的垂直平分线所在直线为x轴，建立坐标系，求得此抛物线的方程，作出如图的切线EF，设出切点的坐标，将五边形的面积表示出来，判断出面积最大时AF的值即为所求，

解答：解：由条件易知，边缘线OM是以点D为焦点，直线AB为准线的抛物线的一部分．以O点为原点，AD所在直线为y轴建立直角坐标系，则p=0.5，易求得边缘线OM所在抛物线的方程为：x²=y…3分
要使如图的五边形ABCEF面积最大，则必有EF所在直线与抛物线相切，设切点为 （x₀，y₀）
则直线EF的方程为：y-y₀=2x₀（x-x₀），
由此可求得点F、E的坐标分别为（0，-x₀²），(

1 4 +x0 2

2x0

，

1

4

)
梯形的面积为0.5-

1

2

×(

1

4

+x0 2)×

1 4 +x0 2

2x0

=0.5-

1

64

×

16x0 4+8x0 2+1

x0

，x0∈(0，

1

2

]
令t=

16x0 4+8x0 2+1

x0

，x0∈(0，

1

2

]
则t′=

48x0 4+8x0 2-1

x0 2

=

12(4x0 2+1)(x0+ 3 6 )(x0- 3 6 )

x0 2

显然函数t在 (0，

3

6

)上是减函数，在 (

3

6

，

1

2

)上是增函数，
∴当x0=

3

6

时，t取得最小值，相应地，五边形ABCEF的面积最大．…12分
此时点E、F的坐标分别为(

3

3

， 

1

4

)，(0，-

1

12

)，
即沿直线EF画线段切割可使五边形ABCEF的面积最大．…13分

点评：本题考查抛物线的应用，解题的关键是根据题设条件建立起抛物线模型，再由图形将所研究的面积问题用一个函数关系表示出来，利用函数最值确定两点的坐标定下切线的位置，本题运算量相当大，模型先是建立圆锥曲线模型，再建立切线模型，最后又建立起面积模型，并用导数研究函数的单调性确定出面积取最值时切点的坐标，求出E，F的坐标，运算量大，综合性强，极易出错．