Question

已知向量

m

=（a，cos2x），

n

=（1+sin2x，

3

），x∈R，记f（x）=

m

•

n

．若y=f（x）的图象经过点（

π

4

，2 ）．
（1）求实数a的值；
（2）设x∈[-

π

4

，

π

4

]，求f（x）的最大值和最小值；
（3）将y=f（x）的图象向右平移

π

12

，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到y=g（x）的图象，求y=g（x）的单调递减区间．

Answer 1

分析：（1）表示出函数f（x）后将点代入即可求出a的值．
（2）将a的值代入函数f（x），由x的取值区间可求出最值．
（3）先将函数f（x）平移变换得到函数g（x），再求其单调区间．

解答：解：（1）∵f（x）=

m

•

n

=a（1+sin2x）+

3

cos2x 经过点（

π

4

，2 ）．
∴f（

π

4

）=2∴a=1；
（2）∵a=1∴f（x）=sin2x+

3

cos2x+1=2sin（2x+

π

3

）+1
∵x∈[-

π

4

，

π

4

]∴2x+

π

3

∈[-

π

6

，

5π

6

]
∴f（x）_min=0，f（x）_max=3
（3）∵将y=f（x）的图象向右平移

π

12

可得 y=2sin（2x-

π

6

）+1
将y=f（x）的图象横坐标伸长到原来的4倍可得：y=2sin（

1

2

x-

π

6

）+1
令

π

2

+2kπ≤

1

2

x-

π

6

≤

3π

2

+2kπ可求出4kπ+

4π

3

≤x≤4kπ+

10π

3

故函数g（x）的单调递减区间为：[4kπ+

4π

3

，4kπ+

10π

3

](k∈Z)

点评：本题主要考查三角函数的最值和单调区间．求三角函数的单调区间和最值时要注意整体思想．