Question

7．已知函数f（x）=（3x+1）e^x+1+kx（k≥-2），若存在唯一整数m，使f（m）≤0，则实数k的取值范围是$[-2，-\frac{5}{2e}）$．

Answer 1

分析 根据不等式的关系转化为两个函数的大小关系，构造函数g（x）=kx，h（x）=-（3x+1）e^x+1，由题意得g（x）≤h（x）的整数解只有1个，求出h′（x）、判断出h（x）的单调性画出图象，利用图象和条件列出不等式组，求出实数k的取值范围．

解答 解：由f（x）≤0得（3x+1）e^x+1+kx≤0，
即kx≤-（3x+1）e^x+1，
设g（x）=kx，h（x）=-（3x+1）e^x+1，
h′（x）=-（3e^x+1+（3x+1）e^x+1）=-（3x+4）e^x+1，
由h′（x）＞0得：-（3x+4）＞0，即x＜-$\frac{4}{3}$，
由h′（x）＜0得：-（3x+4）＜0，即x＞-$\frac{4}{3}$，
即当x=-$\frac{4}{3}$时，函数h（x）取得极大值，
由题意知，存在唯一整数m，使f（m）≤0即g（m）≤h（m），
当k≥0时，满足g（x）≤h（x）的整数解超过1个，不满足条件．
当-2≤k＜0时，要使g（x）≤h（x）的整数解只有1个，
则$\left\{\begin{array}{l}{h（-1）≥g（-1）}\\{h（-2）＜g（-2）}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{2•{e}^{0}≥-k}\\{5•{e}^{-1}＜-2k}\end{array}\right.$，解得$-2≤k＜-\frac{5}{2e}$，
所以实数k的取值范围是$[-2，-\frac{5}{2e}）$，
故答案为：$[-2，-\frac{5}{2e}）$．

点评 本题考查函数与不等式的应用，导数与函数单调性、极值的关系，以及构造函数法，利用构造函数和数形结合解决不等式问题，考查分析、解决问题的能力．