定义在上的函数
,当
时,
,且对任意的
,有
,
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)求证:对任意的,恒有
;
(Ⅲ)证明:是
上的增函数.
(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)见解析;(Ⅲ).
【解析】
试题分析:(Ⅰ)令即可得证;(Ⅱ)令
得,
,由已知x>0时,f(x)>1>0,当x<0时,-x>0,f(-x)>0,故对任意x∈R,f(x)>0;(Ⅲ)先证明
为增函数:任取x2>x1,则
,
,故
,故其为增函数.
试题解析:(Ⅰ)令,则f(0)=[f(0)]2 ∵ f(0)≠0 ∴ f(0)=1 2分
(Ⅱ)令则
f(0)=f(x)f(-x) ∴
4分
由已知x>0时,f(x)>1>0,当x<0时,-x>0,f(-x)>0
∴,又x=0时,f(0)=1>0 6分
∴ 对任意x∈R,f(x)>0 7分
(Ⅲ)任取x2>x1,则f(x2)>0,f(x1)>0,x2-x1>0 8分
∴
∴ f(x2)>f(x1) ∴ f(x)在R上是增函数 13分
考点:抽象函数、增函数的证明、一元二次不等式解法.
科目:高中数学 来源:2012-2013学年河南省南阳市高三9月月考理科数学试卷(解析版) 题型:填空题
定义在上的函数
;当
时,
,若
,
,则P,Q,R的大小关系为( )
A.R>Q>P B.R>P>Q
C. P>R>Q D. Q>P>R
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科目:高中数学 来源:2013届广东省高二下学期期末考试文科数学试卷(解析版) 题型:选择题
定义在上的函数
满足
.当
时,
,当
时,
。则
( )
A.335 B.338 C.1678 D.2012
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