Question

定义在R上的奇函数f（x）满足：当x＞0时，f（x）=2010^x+log₂₀₁₀x，则方程f（x）=0的实根的个数为

3

．

Answer 1

分析：根据f（x）是R上的奇函数，则f（0）=0，当x＞0时，函数f₁（x）=2010^x，f₂（x）=-log₂₀₁₀x的图象有一个交点，方程f（x）=0有唯一实数根，由奇函数的性质知，当x＜0时，
也有唯一一个根使得f（x）=0，从而得到结论．

解答：解：当x＞0时，令f（x）=0得，即2010^x=-log₂₀₁₀x，
在同一坐标系下分别画出函数f₁（x）=2010^x，f₂（x）=-log₂₀₁₀x的图象，
如右图，可知两个图象只有一个交点，即方程f（x）=0只有一个实根，
∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴当x＜0时，方程f（x）=0也有一个实根，
又∵f（0）=0，
∴方程f（x）=0的实根的个数为3．
故答案为 3．

点评：本题主要考查函数的奇偶性，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．