Question

如图，在三棱台A₁B₁C₁－ABC中，已知A₁A⊥底面ABC，A₁A= A₁B₁= B₁C₁=a，B₁B⊥BC，且B₁B和底面ABC所成的角45??，求这个棱台的体积．

Answer 1

．

解析:

解：因为A₁A⊥底面ABC，所以根据平面的垂线的定义有A₁A⊥BC．又BC⊥BB₁，且棱AA₁和BB₁的延长线交于一点，所以利用直线和平面垂直的判定定理可以推出BC⊥侧面A₁ABB₁，从而根据平面的垂线的定义又可得出BC⊥AB．

∴ △ABC是直角三角形，∠ABC=90??．并且∠ABB₁就是BB₁和底面ABC所成的角，

∠ABB₁=45??．                                                   ——3分

作B₁D⊥AB交AB于D，则B₁D∥A₁A，故B₁D⊥底面ABC．

∵ Rt△B₁DB中∠DBB₁=45??，

∴ DB=DB₁=AA₁=a，                       

∴AB=2a．                   ——6分

由于棱台的两个底面相似，故

Rt△ABC∽Rt△A₁B₁C₁．

∵ B₁C₁=A₁B₁=a，AB=2a，

∴ BC=2a．

∴ S_上=A₁B₁×B₁C₁=．

S_下=AB×BC=2a²．                                                ——8分

V棱台=·A₁A·

=·a·                             ——10分