Question

如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱与底面垂直，AA₁=AB=AC=1，且AB⊥AC，M是CC₁的中点，N是BC的中点，点P在直线A₁B₁上，且满足

A1P

=λ

A1B1

．
（1）证明：PN⊥AM；
（2）当λ取何值时，直线PN与平面ABC所成的角θ最大？并求该角最大值的正切值．

Answer 1

分析：（1）以AB，AC，AA₁分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，分别求出

PN

与

AM

的坐标，要证PN⊥AM，只需求证它们的数量积为零即可；
（2）过P作PE⊥AB于E，连接EN，则∠PNE为直线PN与平面ABC所成的角θ，求出此角的正切值，然后研究其最大值即可求出λ的值．

解答：解：（1）以AB，AC，AA₁分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A-xyz
则（λ，0，1），N（

1

2

，

1

2

，0），M（0，1，

1

2

）
从而

PN

=（

1

2

-λ，

1

2

，-1），

AM

=（0，1，

1

2

）

PN

•

AM

=（

1

2

-λ）×0+

1

2

×1-1×

1

2

=0
所以PN⊥AM（6分）

（2）过P作PE⊥AB于E，连接EN，则PE⊥面ABC，
则∠PNE为所求角θ，
所以tanθ=

PE

EN

=

1

EN

，因为当E在AB中点时，ENmin=

1

2

．（tanθ）_max=2
此时，λ=

1

2

．（12分）

点评：本题主要考查了直线与平面所成的角，以及直线与平面垂直的性质，考查空间想象能力，属于基础题．