Question

函数f（x）=mx²-2x+1有且仅有一个为正实数的零点，则实数m的取值范围是（　　）

A．（-∞，1]

B．（-∞，0]∪{1}

C．（-∞，0）∪（0，1]

D．（-∞，1）

Answer 1

分析：当m=0时，满足条件．当m≠0时，函数f（x）=mx²-2x+1图象是抛物线，且与y轴的交点为（0，1），则得 ①对称轴x=

1

m

＞0，且判别式△=4-4m=0；或者②对称轴x=

1

m

＜0．分别求得m的范围，再取并集，即可得实数m的取值范围．

解答：解：当m=0时，令f（x）=-2x+1=0，求得x=

1

2

，满足条件．
当m≠0时，函数f（x）=mx²-2x+1图象是抛物线，且与y轴的交点为（0，1），由f（x）有且仅有一个正实数的零点，
则得 ①对称轴x=

1

m

＞0，且判别式△=4-4m=0，求得m=1．
或者②对称轴x=

1

m

＜0，解得 m＜0．
综上可得，实数m的取值范围{m|m=1，或m＜0}．

点评：本题主要考查函数的零点的定义，二次函数的性质应用，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．