Question

5．已知f（x）=ax³+bx²+cx+d与x轴有3个交点（0，0），（x₁，0），（x₂，0），且f（x）在x=$\frac{3-\sqrt{3}}{3}$，x=$\frac{3+\sqrt{3}}{3}$时取极值，则x₁•x₂的值为（　　）

• A． 4
• B． 2
• C． 6
• D． 不确定

Answer 1

分析 由f（0）=0，可得d=0．f′（x）=3ax²+2bx+c．根据f（x）在x=$\frac{3-\sqrt{3}}{3}$，x=$\frac{3+\sqrt{3}}{3}$时取极值，可得f′（$\frac{3-\sqrt{3}}{3}$）=0，f′（$\frac{3+\sqrt{3}}{3}$）=0，又f（x）=x（ax²+bx+c），可得f（x₁）=f（x₂）=0，x₁，x₂≠0．可得x₁x₂=$\frac{c}{a}$．

解答 解：∵f（0）=0，∴d=0．
f′（x）=3ax²+2bx+c，
∵f（x）在x=$\frac{3-\sqrt{3}}{3}$，x=$\frac{3+\sqrt{3}}{3}$时取极值，
∴f′（$\frac{3-\sqrt{3}}{3}$）=0，f′（$\frac{3+\sqrt{3}}{3}$）=0，
a≠0，可得2×$\frac{b}{a}$+$\frac{c}{a}$+3=0，4×$\frac{b}{a}$+$\frac{c}{a}$+12=0，解得：$\frac{c}{a}$=6，
又f（x）=x（ax²+bx+c），
f（x₁）=f（x₂）=0，x₁，x₂≠0．
∴x₁x₂=$\frac{c}{a}$=6．
故选：C．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．