Question

已知数列{a_n} 满足a₁=a，且a _n+1=

1- 1 an (an＞1) 2an(an≤1)

，对任意的n∈N^*，总有a _n+3=a_n成立，则a在（0，1]内的可能值有（　　）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

Answer 1

分析：a₁=a∈（0，1]，a₂=2a，若a∈(0，

1

2

]，a₂=2a∈（0，1]，a₃=4a，a4=

8a，0＜a≤ 1 4 1- 1 4a ， 1 4 ＜a≤ 1 2

．由此能求出a=

1

2

，若a∈(

1

2

，1)，a₂=2a∈（1，2]，a3=1-

1

2a

∈(

1

2

，

3

4

]，a4=1-

1

a

．由此能求出a=1．

解答：解：a₁=a∈（0，1]，a₂=2a，
①若a∈(0，

1

2

]，a₂=2a∈（0，1]，
a₃=4a，
a4=

8a，0＜a≤ 1 4 1- 1 4a ， 1 4 ＜a≤ 1 2

．
由a₄=a₁=a得

1

4

＜a≤

1

2

，
且1-

1

4a

=a，
故a=

1

2

，此时经检验对任意的n∈N^*，总有a_n+3=a_n．
②若a∈(

1

2

，1)，
a₂=2a∈（1，2]，
a3=1-

1

2a

∈(

1

2

，

3

4

]，
a4=1-

1

a

．
由a₄=a₁=a得a=1，此时经检验对任意的n∈N^*，总有a_n+3=a_n．
故a=

1

2

或a=1．
故选B．

点评：本题考查数列的递推式的应用，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的灵活运用．