Question

已知函数f（log_ax）=

a

a-1

（x-

1

x

）（a＞0且a≠1）．
（1）求f（x）解析式并判断f（x）的奇偶性；
（2）对于（1）中的函数f（x），若?x₁，x₂∈R当x₁＜x₂时都有f（x₁）＜f（x₂）成立，求满足条件f（1-m）+f（m²-1）＜0的实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用换元法求函数的解析式，利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性．
（2）利用函数的单调性解不等式．

解答：解：（1）令log_ax=t，则x=a^t，
∴f(t)=

a

a-1

(at-

1

at

)
∴f(x)=

a

a-1

(ax-

1

ax

)，x∈R_{-----------------------------------------------}（4分）
因为f(-x)=

a

a-1

(a-x-

1

a-x

)=-f(x)
∴f（x）为奇函数_{-------------------}（6分）
（2）因为?x₁，x₂∈R当x₁＜x₂时都有f（x₁）＜f（x₂）成立，
所以f（x）在R上单调递增_{------------------------------}（8分）
由f（1-m）+f（m²-1）＜0得f（m²-1）＜-f（1-m），
又f（x）为奇函数，
∴-f（1-m）=f（m-1），即f（m²-1）＜f（m-1），
_{------------------------------}（10分）
由f（x）在R上单调递增得m²-1＜m-1，
即m²＜m 解得0＜m＜1
故实数m的取值范围为（0，1）_{------------------------------}（12分）

点评：本题主要考查函数奇偶性的应用以及函数单调性的应用，要求熟练掌握函数的相关性质及应用．