Question

【题目】如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为a的正方形，PB⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点．

（1）求证：MN∥平面PAB；
（2）若平面PDA与平面ABCD成60°的二面角，求该四棱锥的体积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：取PB的中点O，连接ON，OA，

∵O，N分别是PB，PC的中点，

∴ON∥BC，ON= BC

又AD∥BC，AM= AD，

∴ON∥AM，ON=AM．

∴四边形MNOA为平行四边形．

∴MN∥AO

而MN平面PAB，AO平面PAB

∴MN∥平面PAB

（2）解：∵PB⊥平面ABCD，AD平面ABCD，

∴PB⊥AD，

又AB⊥AD，AB∩PB=B，

∴AD⊥面PAB，

∴AD⊥PA．

∴∠PAB为平面PDA与平面ABCD成二面角的平面角，

∴∠PAB=60°，

在RT△PBA中，PB=tan∠PABAB= a，

∴VP﹣ABCD= SABCD×PB= ×a2× a=

【解析】（1）取PB的中点O，连接ON，OA，通过证明四边形MNOA为平行四边形．得出MN∥AO，根据判定定理即可证明．（2）容易得出∠PAB为平面PDA与平面ABCD成二面角的平面角，在RT△PBA中，求出椎体的高PB，利用锥体体积公式计算即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面平行的判定的相关知识，掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行．