Question

把正奇数数列1，3，5，7，…中的数按上小下大、左小右大的原则排成如下三角形数表：

设三角形数表中第m行的第一个数为a_m.

(1)试用m表示a_m(不要求证明)；

(2)请判断2 007是该三角形数表中第几行的第几个数；

(3)已知函数f(x)=()ⁿ·(x＞0)，若记三角形数表中从上往下数第n行各数的和为b_n，求数列{f(b_n)}的前n项和S_n.

Answer 1

解:(1)第m行第一个数,即a_m=2·+1=m²-m+1.

(2)由题意，先求使得m是不等式m²-m+1≤2 007的最大正整数解.

由m²-m+1≤2 007，得m²-m-2 006≤0.

∵m∈N^*，

∴0＜m＜＜==45.5.

∴m=45.

于是，第45行第一个数是45²-45+1=1 981?，

∴m=+1=14.

∴2 007是45行的第14个数.

(3)∵第n行第一个数是n²-n+1，且有n个数，若将n²-n+1看成第n行第一个数，则第n行各数成公差为2的等差数列，故b_n=n(n²-n+1)+×2=n³.

∴f(b_n)=()ⁿ=n()ⁿ.

故S_n=+2()²+3()³+…+(n-1)()^n-1+n()ⁿ,

S_n=()²+()³+()⁴+…+(n-1)()ⁿ+n()ⁿ⁺¹,

两式相减得

S_n=+()²+()³+…+()ⁿ-n()ⁿ⁺¹=-n()ⁿ⁺¹

=1-()ⁿ-n()n+1,∴S_n=2-(n+2)()ⁿ.